曲线自同构(关于曲线自同构的简介)

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同构,两个空间的元素一一对应并且保证了所有重要关系的一一对应；

同胚,双方连续的一一映射；

同伦,两条曲线可以连续变形得到；

同调,两个流形,本身没有边界，但却是一个更高维流形的边界,则两个流形同调

1.群的定义

群的定义共有四条：“封结幺逆”。子群的判定有两种。

一些常见的特殊群

元素数目（ 阶数 ）有限的群称为 有限群 ，否则为 无限群 。

交换群 又称 Abel群 。

无非平凡子群的群称为 单群 。

由一个元素生成的群称为 循环群 。

集合S到S的全部一一对应构成一个群，称为 变换群 A(S)A(S)。任何群都可以看做某集合上的变换群（Cayley定理）。这里的每个一一对应可以看成是每个排列方式。

有限集合（n个元素）上的变换群称为 置换群 SnSn，亦称为n次 对称群 ，其阶数为n!n!。

n次对称群SnSn中全部的偶置换构成n次 交错群 AnAn，其阶数为12n!12n!。5次及以上的交错群为单群。

2.群的内部结构

2.1 正规子群和商群

子群一定包含幺元。如果确定了一个群的非平凡子群，一定可以取某个该子群外的元素，构造该子群的一个 傍集 。傍集与子群“平行”（即元素数目相等，不相交），但是傍集并不是群。再取子群和傍集之外的元素继续构造另一个傍集……这样可以将大群进行“整齐的”划分，这就是Lagrange定理。任何大群中的元素都必然属于某一个傍集（子群也算傍集）。

这些傍集实际上可以用其中的一个元素作为代表（等价类），换句话说，傍集之集可以看成是一个“低分辨率”的大群，元素被一组一组地“捏”成一个点。一个很自然的想法是这个“低分辨率”的集合（傍集之集）是否仍然是群。对于(Ha)(Hb)=H(ab)(Ha)(Hb)=H(ab)这种乘法运算成立的条件显然是任何a要能穿过H：aH=HaaH=Ha。这里并不要求a和H中每个元素交换，只是要求H中的元素在任意“共轭变换”（g?1hgg?1hg）之后仍然能够落在子群H中。此条件即傍集之集为群的充要条件；并且由此定义一个群的 正规子群 ：即能够使其傍集之集为群的子群，若傍集之集为群则称之为 商群 。因此，将一个群“粗糙化”舍弃掉一些信息使其变成一个小群“商群”的方法是找一个（非平凡）正规子群；这个过程或许可以命名为一种“除法”，正规子群是“除数”。（显然这里一定能“整除”。）

对于由群中的一个任意的子群而言，大群的所有元素可以简单分成两类：满足aH=HaaH=Ha的和不满足的。将所有满足aH=HaaH=Ha的元素归到一个集合中，这个集合就是一个群，称为子群H的 正规化子 ，也就是最大的包含H作为其正规子群的子群，记作N(H)N(H)。这个记号似乎可以看成是一个“函数”。

2.2 中心

一个群的运算不一定是交换的，可能在某些元素上有交换性：某些元素与其他任何元素的运算都可交换，比如幺元。这些对其他任何元素具有交换性的元素之集是一个群，称为大群的 中心 。中心必定是正规子群，而且条件是在“共轭变换”下保持不动。

类似正规化子，我们也可以定义 中心化子 。对群的子集（注意是子集即可），取大群中所有能够与此子集中的元素都交换的元素作为一个集合，即子集的中心化子，通常记作C(S)C(S)。仔细思考C(G)C(G)（G是大群）即为G的中心。

3.群的外部关系：群同态

群到群的映射若保持两群的运算规则（可以理解为连同运算一起映射）即为 群同态 。显然同态必然将幺元映为幺元，逆元映为逆元，子群映为子群，正规子群映为正规子群，商群映为商群。此即 对应定理 。

“对称”的群同态，即一一映射，称为 群同构 ；而同构的两群实际上是完全一样的，只是元素的表示花样不一样罢了（所以可以视同构为“相等”）。而“非对称”的同态，只可能将一个群投影“变小”（即像的阶数变小）。这样的同态只能将一个群投影为一个小群（满射而非单射）或者投影为另一个更大群的一部分（单射而非满射）。显然“不对称”的情况下同态会将多个元素映为一个点，例如映为像中的幺元。这些被映到幺元的元素组成一个子群，称为 同态的核 （Ker）。同态的核显然是一个正规子群，这是由像中幺元的交换性质反推得出的。对于同态ff，一个群“除以”同态核KerfKerf就等于像ImfImf，此即 同态基本定理 。

求助，求问怎么举例说明同构的平面图的对偶图不一定同构

超椭圆曲线

设C是代数曲线，如果存在一个从C到射影直线P^1的二次覆盖(即全纯的2:1满射)，就称C是超椭圆曲线(hyperelliptic curve)。

亏格为2的曲线必定是超椭圆曲线。 超椭圆曲线的曲线自同构群Aut(C)包含一个对合映射，从而诱导出到P^1的二次覆盖，对合映射的不动点恰好就是二次覆盖的分歧点。Aut(C)可以由P^1的曲线自同构群诱导出来。

对于域K，亏格为g超椭圆曲线的基本形式是

y^2+h(x)y=f(y).

其中f(x)为2g+1次多项式，h(x)是次数小于等于g的多项式。多项式的系数都在K上。

超椭圆曲线在密码学中有很大的应用。美国华盛顿大学教授Neal Koblitz首先发明了超椭圆曲线密码。超椭圆曲线密码是利用超椭圆曲线C的Jacobian上的离散对数问题(HECDLP)的‘不可行性’。但是只有亏格为2的超椭圆曲线密码的安全性能和椭圆曲线密码的安全性媲美。无论是域K过小或者亏格g过大都会使得超椭圆曲线密码不安全。

如下面(1)，(2)所示的图（黑线边的图）是同构的，但它们的对偶图不是同构的。

在平面图G的每个面内选取一点作为顶点，对于G的任一条边，将与其相邻的两个面内的顶点用一条仅与有一交点且不与图G的其他任何边相交的简单曲线连结，这样得到的平面图称为G的平面对偶图，记为G'，亦称G'为G的几何对偶。

平面对偶具有对称性，即若G'为G的平面对偶图，则G亦为G'的平面对偶图。

扩展资料

性质

（1）如果G是一个连通图且G'是G的对偶图，则G也是G'的对偶图。

（2）同构平面图的对偶图不一定是同构的。G的对偶图的对偶图也不一定与G同构。

（3）设n、e、f分别为平面图G的结点数、边数和面数，n*、e*、f*分别为G的对偶图G*的结点数、边数和面数。按照对偶图的定义有n*=f、e*=e、f*=n。

（4）若与G同构，称G自对偶(self dual)。

（5）任何平面图G的对偶图都是连通的。

（6）若边e为G中的环，则它对应的边为的割边；若边e为G中的割边，则为的环。

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